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        “普通高中數學課程標準(實驗)”解讀

         “普通高中數學課程標準(實驗)”解讀

         20049月開始進入《普通高中數學課程標準(實驗)”》以下簡稱“課標”)及其教材實驗至今已是第六個年頭了,繼廣東、山東、海南、寧夏等四省首批進入實驗區以后,至今全國已有19個省市進入實驗區,其他省市也將陸續進入。在前五年的實驗中,我們看到了新課程帶來的變化,積累了一些經驗,也暴露了一些問題。因此,在這次修訂人教A版實驗教材的培訓包中,增加了“課標”解讀這一內容,希望能幫助廣大教師和數學教育工作者對新課程改革的必要性和新課程有一個初步的了解。

        一、引言

        (一)不斷的變革是數學教育發展的必然

        教育的目的是發展人發展社會,數學教育的目的是利用數學的特點發展人發展社會。社會的發展、教育的發展、數學的發展必然導致數學教育的不斷的變革。

        現代社會需要培養不同層次的人才。社會的發展,特別是高等教育多元化的發展、高中教育的規模化趨勢和逐步的普及,將使高中畢業生不再只是各種高層次人才的預備隊伍,他們還將成為各產業大軍的主體,他們的未來將面臨各種需求和自我發展的機遇。因此,高中階段的教育應當為他們提供多元化的發展機會。

        社會的發展要求人們不斷地提高理性思維能力,人們越來越清楚地認識到,良好的數學素養對于人們形成理性思維和人的發展具有重要的作用。

        數學是科學、是語言、是工具,是基礎。數學在科技、社會、日常生活中的應用越來越廣泛、深入。數學已從幕后走向臺前,與計算機技術的結合在許多方面直接為社會創造財富,是許多高科技(如四大技術——材料、生命、環境、信息)的核心。又如在CT掃描技術、計算軟件、數論在信息技術中的應用等。“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,生物之謎,日用之繁”,無處沒有數學的貢獻。數學已經滲透到幾乎各行各業、各個專業方向。

        此外,數學文化、數學的思想方法,也處處影響人們的生產和生活。數學的發生發展伴隨著人類文明和社會的發展,反之,人類文明和社會的發展推動著數學的發展。

        教育的發展,尤其是教育心理的發展,對數學教學規律與學生學習方式等研究日趨深入,要求數學課程內容的編排、教材的編寫有相應的變革。

        (二)我國的數學課程的長處與不足

        1.我國的數學課程的長處

        我國的數學課程有著自己的長處,如:課程內容比較系統,邏輯性強,重視數學理論和對學生的基本訓練,因此學生對基礎知識掌握得比較扎實,常規計算等基本技能比教熟練,這是數學課程實現其教育目標的基礎,也是聯系實際、培養能力必不可少的基礎,在這方面的成績已得到了國際的認可。我們的教師在課程的實施中敬業精神強,基于“大綱”的要求,與其他國家相比,教學中注意啟發式,對于數學思想方法也較為關注,對“三大能力”的培養有我們自己的認識和做法,有一批優秀的教師,他們有較為全面的數學教育觀、數學素養好、能按科學的教學規律進行課堂教學。此外,我們設有各級教研機構,指導、規范教師的教學和教學研究活動,從整體上保證了我國的數學教育有一個較為整齊的水平。但是,我國數學課程也存在著不足與問題

        2.我國數學課程的不足與問題

        我國數學課程的不足與問題主要表現在:

        (1)課程設置、課程目標、課程內容和評價方式都表現得較為單一

        隨著社會、教育、數學的發展,現有的課程設置不能適應現代社會對不同層次人才的需要,也不利于人才的培養和成長,尤其是隨著高中教育的不斷擴大,這方面的社會問題會日益突現出來。  

        課程目標在關注基本知識和基本技能時往往忽視學生的感悟和思考過程,忽視對數學的理解,忽視數學的應用價值和文化價值的揭示,忽視對學生學習興趣、自信心的激發和培育。

        課程內容缺乏與學生的生活經驗、與社會實際的聯系,缺乏數學各學科之間、數學與其他學科之間的聯系,較少地體現數學的背景和應用。

        這些不足和問題,造成了學生對數學學習不感興趣,或者越學越沒興趣,覺得數學就是做題,認為數學只在升學考試時有用…等等。也是造成我國學生只善于做常規題,與日常事務、日常生活聯系的應用意識差,動手能力弱的重要原因所在。

        再有,就是評價的單一性,無論是評價主體、評價目標、還是評價方式,都較為單一。通常只是教師或學校對學生的評價,關注的往往只是結果,方式是以筆試為主。忽視了對學生發展的全面考察,包括學生在數學教學活動中表現出來的興趣和態度的變化、學習數學的信心、獨立思考的習慣、合作交流的意識、認知水平的發展,等等。總之,對評價的激勵和發展功能重視不夠,忽視了對學生發展的全面考察,這既不利于學生潛力的發揮,也不利于人才的培養。

        (2)忽視數學課程的教育價值

        數學課程改革是數學教育改革的核心,數學教育的目的主要是通過課程來實現的。總所周知,數學教育是教育的重要組成部分,他利用數學的特點,在發展和完善人的教育活動中,在形成人們認識世界的態度和思想方面、在推動社會進步和發展的進程中,起著別的學科不能替代的作用。同時,數學教育在學校教育中占有特殊的地位,他不僅使學生掌握數學的基礎知識、基本技能、基本思想,而且使學生具有表達清晰、思考有條理等理性思維的方式,使學生具有求真求實的態度、鍥而不舍的精神。但是,在以往的課程中,我們對數學課程的上述教育價值重視不夠,往往關注的是知識和技能的學習和掌握,而對于通過以知識和技能為載體,對人的理性思維、理性精神的培育缺乏相應的認識和實踐。

        (3)忽視對數學本質的認識和理解,存在過分形式化的傾向

        固然,我們有重視基礎知識、基本技能的優良傳統,而且,這也是培養學生的數學能力、發展應用意識、形成數學觀念等方面的重要基礎。但是,哪些知識是基礎的,如何把握基礎知識的教學?應該進行哪些基本技能的訓練?如何訓練等問題,在我們的課程中也還存在著需要探討的問題。例如:

        函數的教學中,函數概念三要素確實是高中數學課程中對函數概念學習的一個重要方面,但是,以往課堂教學對函數定義域和值域的訓練中人為設置的、過于形式化的、繁難訓練的成分過多,而對函數本質的探索、認識、理解和應用確顯得不夠。

        幾何課程中,關注更多的是形式化的演繹證明的步驟,而忽視了幾何課程的教育功能。對于幾何課程的教育功能,以往關注的往往只是幾何課程對培養邏輯思維能力的作用,確實,幾何課程是培養邏輯思維能力的良好載體。但是,隨著研究的不斷深入,我們要全面地看待幾何課程的教育功能。具體地說,一是應注重合情推理與邏輯推理的有機結合。事實上,回顧我們自己對幾何課程的學習和審視幾何課程的內容,都可以感受到這兩種推理在思考過程、證明過程和解決問題過程中的意義和作用,先猜后證往往是處理問題的一個常用策略,尤其是對于一些較難的問題。而“猜測”的過程或是出于直覺,或是通過歸納和類比,無論是直覺,還是歸納和類比,都是一種合情推理的過程。而以往我們對合情推理以及合情推理與邏輯推理的有機結合,以及他們在幾何課程中的作用,乃至對學生這一學習能力培養的關注都較為欠缺。因此,“注重合情推理與邏輯推理的有機結合”對于培養學生思考和解決問題的能力不僅有現實意義,而且體現了一種自然的思考過程,是孕育理性思維的基礎。二是要注重幾何直觀能力的培養,這一觀念更是教學中的薄弱環節。幾何直觀能力對于數學學習具有十分重要的意義,合理地運用幾何直觀去學習數學,可以幫助思考,把抽象的對象變得直觀形象,把難以理解的內容變得容易把握;有助于學生學會從數和形兩個方面去想問題、去看問題,這是數學科學研究對象和特點的需要,更是認識和理解數學、學好數學的需要。

        此外,在統計課程中,更多的是計算統計量,而忽視了從樣本(局部)估計總體(整體)的統計的基本思想方法,忽視了讓學生經歷收集數據、整理數據、分析數據、從數據中獲取信息作出判斷的過程,從而培養數據分析能力,等等。

        數學教育的發展,以及課程的不足和問題促使我們考慮新課程設計的基本出發點和指導思想,即課程的基本理念,也促使我們考慮相關的一些問題,如:

        數學課程應如何確定課程的目標,以適應社會發展對不同層次人才培養的要求?

        需要如何確定課程內容,既能保證基礎性又能適應社會發展對不同層次人才培養的要求?

        需要如何改進和豐富數學課堂教學方式,積極探索適合高中學生數學學習的教學方式,不斷提高教學水平,使學生受到良好的數學教育?

        需要如何改進和豐富學生的學習方式,以利于學生的終身學習和終身發展?

        關于新課程設計的的基本出發點和指導思想,“課標”列出了十條基本理念。并在“課標”解讀中指出:面向21世紀的我國數學教育, 應當具有時代的特征。 因此, 制定新的高中數學課程, 必須“與時俱進”地審視國內外數學科學以及數學教育的歷史、現狀、發展趨勢,體現課程的時代性、基礎性、選擇性,對高中數學課程給以明確的定位,還必須前瞻性地規劃未來高中數學課程的發展圖景。同時對十條基本理念作了較為詳細的解讀,這里不再重復。但是,我們在下面會結合對課程目標、內容、一些內容的剖析,以及實驗情況的調查等,具體闡述這些基本理念的體現。

        下面我們首先介紹新課程的目標,其次介紹新課程的內容,以及“課標”與《全日制普通高級中學數學教學大綱》(以下簡稱“大綱”)相比較的變化——包括框架結構的變化和內容的變化,為什么有這些變化?最后是實驗情況調查與筆者的若干思考。

         

        二、課標確定的高中數學課程目標及其宗旨

        (一)高中數學課程目標

        根據高中階段的教育價值和數學課程的基礎性,以及社會、數學與教育的發展對人才培養的要求,對數學教育的要求,高中數學課程的總目標是:使學生在九年義務教育數學課程的基礎上,進一步提高作為未來公民所必要的數學素養,以滿足個人發展與社會進步的需要。具體目標如下:

          1獲得必要的數學基礎知識和基本技能,理解基本的數學概念、數學結論的本質,了解概念、結論等產生的背景、應用,體會其中所蘊涵的數學思想和方法,以及它們在后續學習中的作用。通過不同形式的自主學習、探究活動,體驗數學發現和創造的歷程。

        2.提高空間想像、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理等基本能力。

        3.提高數學地提出、分析和解決問題(包括簡單的實際問題)的能力,數學表達和交流的能力,發展獨立獲取數學知識的能力。

        4發展數學應用意識和創新意識,力求對現實世界中蘊涵的一些數學模式進行思考和作出判斷。

        5.提高學習數學的興趣,樹立學好數學的信心,形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態度。

        6.具有一定的數學視野,逐步認識數學的科學價值、應用價值和文化價值,形成批判性的思維習慣,崇尚數學的理性精神,體會數學的美學意義,從而進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀。

        (二)課程目標有新的發展和進步

        我們知道,學校教育是一種有目的、有意識的教育活動,他反映了社會對未來人材培養在知識、技能、能力、意識、態度、價值觀、情感等方面的要求。因此,“課標”在確定數學課程總目標下,六條具體目標體現了知識與技能;過程與方法,在過程中形成能力和意識;情感、態度、價值觀等方面內容。

        “課標”確定的高中數學課程目標與國內外的數學課程目標相比,有新的發展和進步。以往的課程目標或者主要體現的是實用的目的,如:就業、升學;或者主要體現的是數學學科的要求。而“課標”提出的這個目標不僅有對個人在九年義務教育數學課程的基礎上,進一步提高數學素養的要求,而且把個人的發展與社會發展的需要聯系在一起,這就從教育的本質上明確了數學教育的目標,揭示了數學教育的本質。

        (三)總目標與具體目標的關系

        “課標”確定的數學課程總目標明確了數學教育前進的方向,即:“進一步提高作為未來公民所必要的數學素養,以滿足個人發展與社會進步的需要”。因此,“課標”對課程內容的選擇、要求、處理上,都有了較大的變化,增加了算法、推理與證明、框圖、統計案例等新的內容,對原有內容作了若干刪減;設立“數學探究”“數學建模”等學習活動,為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創造有利的條件,以激發學生的數學學習興趣,鼓勵學生在學習過程中,養成獨立思考、積極探索的習慣。強調數學課程的數學價值和教育價值,突出學生的發展和社會需要;強調數學本質、整體性和聯系;強調改進和豐富教與學的方式,等等。

        六條具體目標基本上可以分為三個層次:第一個層次是知識與技能,這是掌握方法、發展能力和意識,是形成積極的情感態度、全面的價值觀最基本最重要的基礎;第二個層次是過程與方法,在過程中掌握方法、形成能力,在過程中發展意識,比如應用意識、創新意識;第三個層次是情感態度價值觀,這是對于人的全面和諧發展和社會發展的更高層次的要求。

        總目標與具體目標之間又是不可分割、互相聯系、互相融合的,是一個整體,體現了過程與結果的有機結合。因為方法的把握、能力的形成必須有知識作為載體,以技能作為基礎,而知識的學習和技能的形成又依賴于方法的把握和具備的各種能力;在發展能力的過程中,逐漸形成意識,在參與數學活動的過程中,提高學習興趣,提高學習數學的信心,形成積極的學習態度,認識數學的價值和數學的教育價值,崇尚理性精神,培養良好的個性品質,進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義的世界觀。對于知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀三者的有機結合,是“課標”的基本理念,其中,明確提出對“情感態度價值觀”方面的要求,以及三者的有機結合是一個發展,是對數學學習和數學教育本質深入研究的體現。

        在教育的進程中,我們總是從學習具體的知識、訓練具體的技能開始,在數學教學活動中,逐步形成能力、發展意識,進一步發展為個體的思想、精神、觀念,這是個體成長發展的一個自然的過程。“課標”提出的這六個具體目標正是體現了個體成長發展的這個自然過程。因此,這六條具體目標既有層次,又是不可分割的、互相聯系、互相融合的一個整體,他保證了在數學教育進程中,數學課程總目標的實現。

        三、“課標”與“大綱”相比較課程設置有哪些變化

        與“大綱”相比較,新課程在框架結構、內容等方面都有較大的變化。

        (一)框架結構的變化

        “課標”基本理念的一個大的變化是模塊+專題結構和學分制。

        與以往的高中數學課程相比,這次課程標準更加突出了基礎性和選擇性,這是“課標”的基本理念之一。根據《普通高中課程方案(實驗)》關于課程結構和課程設置的要求,普通高中課程由學習領域、科目、模塊三個層次構成。普通高中課程一共設置了八個學習領域,數學自身構成一個單獨的學習領域。在數學課程這個領域中,不再劃分科目,直接由模塊構成。這些模塊又劃分成必修和選修兩部分。其中,必修課程由5個模塊構成,選修課程分成4個系列,其中系列1、系列2由若干個模塊組成,系列3、系列4由若干專題組成;每個模塊2學分(36學時),每個專題1學分(18學時),如下圖。

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         

        必修

        模塊

         

         

         

         


         

        必修課程和選修課程的各個系列全都劃分成模塊或專題,是為了方便學生選擇課程內容、制訂學習計劃。每個學生在學期開始時,可以根據自己的學習基礎和發展方向,選擇不同模塊的內容,制訂各自不同的學習計劃,還可以在學習一個階段之后,根據自己的學習情況,調整、變更學習計劃。這樣就為不同學生的發展打好不同的基礎,提供了充分的選擇性。

        學生完成10個學分的必修課程,便在數學上達到高中畢業的要求。希望在人文、社科等方面發展的學生可以有兩種選擇(16學分或20學分)。希望在理工(包括部分經濟類)等方面發展的學生也可以有兩種選擇(20學分或24學分)。課程組合有一定的靈活性,不同的組合可以相互轉換。

        (二)內容的變化

        新課程的內容有較大的變化,不僅增加了一些為了適應社會發展、數學發展和教育發展需要的新內容,而且對某些原有內容也作了一定的調整。

        1.內容及其確定的原則

        1)必修課程的內容及其確定原則

        必修課程內容確定的原則是滿足未來公民的基本數學需求,為學生進一步的學習提供必要的數學準備。包括五個模塊的內容:

        數學1:集合、函數概念與基本初等函數I(指數函數、 

                       對數函數、冪函數);

        數學2:立體幾何初步、平面解析幾何初步;

        數學3:算法初步、統計、概率;

        數學4:基本初等函數II(三角函數)、平面上的向量、

                        三角恒等變換;

        數學5:解三角形、數列、不等式。

        必修課程的上述內容是每一個高中學生都要學習的。除了算法是新增加的,向量、統計和概率是近些年來不斷加強的內容之外,其他內容基本上都是以往高中數學課程的傳統基礎內容,覆蓋了高中階段傳統的數學基礎知識和基本技能的主要部分,包括集合、函數、數列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎的同時,進一步強調了這些知識的發生、發展過程和實際應用,而不在技巧與難度上做過高的要求,有些內容在目標、重點、處理方式上發生了變化。必修課程的這些內容對于所有的高中學生來說,無論是畢業后直接進入社會,還是進一步學習有關的職業技術,或是繼續升大學深造,都是不可缺少的必要的基礎。

        必修課程的呈現力求展現由具體到抽象的過程,體現數學知識中蘊涵的基本思想方法和內在聯系,體現數學知識的發生、發展過程和實際應用。在教學中特別應處理好過程與結果、直觀與抽象、演繹推理與合情推理、生活化情境化與數學化等幾個基本關系。

        模塊的邏輯順序:必修課程是選修課程中系列1、系列2課程的基礎。選修課程中系列3、系列4基本上不依賴其他系列的課程,可以與其他系列課程同時開設,這些專題的開設可以不考慮先后順序。必修課程中,數學1是數學2,數學3,數學4和數學5的基礎,數學2、數學3、數學4和數學5的順序各實驗區可以根據情況進行安排。

        2)選修課程的內容及其確定原則

        在完成必修課程的基礎上,希望進一步學習數學的學生,可以根據自己的需求,選擇學習選修系列1、系列2

        其中系列1是為希望在人文社科方面發展的學生設置的,由2個模塊組成:

        選修1-1:常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用;

        選修1-2:統計案例、推理與證明、數系的擴充與復數的引入、框圖。

        系列2是為希望在理工(包括部分經濟類)方面發展的學生設置的,由3個模塊組成:

        選修2-1:常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間中的向量與立體幾何;

        選修2-2:導數及其應用、推理與證明、數系的擴充與復數的引入;

        選修2-3:計數原理、統計案例、概率。

        從整體上看,選修系列12中的內容覆蓋了除前面必修課程內容外的其他高中階段傳統的數學基礎知識,包括常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用、數系的擴充與復數的引入、空間向量、立體幾何、計數原理、二項式定理等。此外,增加了推理與證明、框圖、統計案例等內容,加強了概率的內容。

        對于選修系列12中的內容,有一些內容和要求是相同的,例如,常用邏輯用語、統計案例、數系擴充與復數等,而其他內容在課時和要求都會有所區別的。有一些內容基本相同,但要求不同,如導數及其應用,在系列1中,該內容安排了16個課時,而在系列2中,該內容則安排了24個課時,增加了定積分概念和微積分基本定理;此外,在導數計算中,增加了對線性復合函數的求導要求,如求形如等線性復合函數的導數。

        關于圓錐曲線與方程的內容,在系列1中,該內容安排了12個課時,而在系列2中,該內容則安排了16個課時,主要區別在于對拋物線的要求不同,系列1是了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程,知道它們的簡單幾何性質。而系列2是要求經歷從具體情境中抽象出拋物線模型的過程,掌握它的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質。

        推理與證明的內容在課時上,系列1中安排了10個課時,而在系列2中則安排了8個課時;系列2在內容上多了數學歸納法,而系列1則希望在相同的內容中多一些實例的分析。

        還有一些內容是不同的,如在系列1中安排了框圖的內容,系列2安排了空間中的向量與立體幾何、計數原理、離散型隨機變量及其分布等內容。

        與必修課程一樣,要求在學習知識、在保證打好基礎的同時,學到更多的數學思想和方法,學到數學思考的一般方式。希望當我們的學生繼續深造時,當我們的學生步入社會忘卻數學知識時,還能給他們在思維方式上,在處事的態度和方式上,在精神上,在意志品質上,留下更多的東西。一句話——為學生的終身學習和終身發展打下良好的基礎。

        選修系列34是為對數學有興趣和希望進一步提高數學素養的學生設置的。系列3由6個專題組成:

        選修3-1:數學史選講;

        選修3-2:信息安全與密碼;

        選修3-3:球面上的幾何;

        選修3-4:對稱與群;

        選修3-5:歐拉公式與閉曲面分類;

        選修3-6:三等分角與數域擴充。

        系列4:由10個專題組成:

        選修4-1:幾何證明選講;

        選修4-2:矩陣與變換;

        選修4-3:數列與差分;

        選修4-4:坐標系與參數方程;

        選修4-5:不等式選講;

        選修4-6:初等數論初步;

        選修4-7:優選法與試驗設計初步;

        選修4-8:統籌法與圖論初步;

        選修4-9:風險與決策;

        選修4-10:開關電路與布爾代數。

        選修系列3和系列4中專題的學習重在提高數學素養,拓寬視野。大致分為三類:

        一類是在學生已學數學內容基礎上進一步加深對已學知識和相關知識的了解和認識,是在學生已學數學內容基礎上的延伸和拓廣。例如數學史選講、幾何證明選講、坐標系與參數方程、不等式選講、初等數論初步等。

        一類是對近現代數學中一些重要數學思想方法的介紹,但不是把大學有關內容的簡化下放。例如對稱與群、矩陣與變換、歐拉公式與閉曲面分類、三等分角與數域擴充等。

        還有一類是反映數學與現實世界緊密聯系與廣泛應用的內容,通過這些專題的學習,可以加深學生對數學的力量、數學應用價值的認識。例如信息安全與密碼、優選法與實驗設計初步、統籌法與圖論初步、風險與決策、開關電路與布爾代數等。

        希望通過專題的學習有利于擴展學生的數學視野,有利于提高學生對數學的科學價值、應用價值、文化價值的認識,有利于學生的終身學習和終身發展。

        其中的專題將隨著課程的發展逐步予以擴充,學生可根據自己的興趣、志向進行選擇。根據系列3內容的特點,系列3不作為高校選拔考試的內容,對這部分內容學習的評價適宜采用定量與定性相結合的方式,由學校進行評價,評價結果可作為高校錄取的參考。

        學校應在保證必修課程,選修系列1、系列2開設的基礎上,根據自身的情況,開設系列3和系列4中的某些專題,以滿足學生的基本選擇需求。學校可根據自身的情況逐步豐富和完善,并積極開發、利用校外課程資源(包括遠程教育資源)。對于課程的開設,教師也需要根據自身條件制定個人發展計劃。

        (3)設置了數學探究、數學建模、數學文化內容

        新課程的又一變化是要求把數學探究、數學建模的思想以不同的形式滲透在各模塊和專題內容之中,并在高中階段至少安排較為完整的一次數學探究、一次數學建模活動。高中數學課程還要求把數學文化內容與各模塊的內容有機結合。

        數學探究即數學探究性課題學習,是指學生圍繞某個數學問題,自主探究、學習的過程。這個過程包括:觀察分析數學事實,提出有意義的數學問題,猜測、探求適當的數學結論或規律,給出解釋或證明。

        數學探究這一學習方式有助于學生初步了解數學概念和結論產生的過程,初步理解直觀和嚴謹的關系,初步嘗試數學研究的過程,體驗創造的激情,建立嚴謹的科學態度和不怕困難的科學精神;有助于培養學生發現、提出、解決數學問題的能力和創新意識。

        數學探究課題的選擇是完成探究學習的關鍵。課題的選擇要有助于學生對數學的理解,有助于學生體驗數學研究的過程,有助于學生形成發現、探究問題的意識,有助于鼓勵學生發揮自己的想像力和創造性。課題要有一定的開放性,但課題的預備知識最好不超出學生現有的知識范圍。

        數學探究課題可以從教材提供的案例和背景材料中選擇,也可以從教師提供的案例和背景材料中選擇,還可鼓勵學生在學習數學知識、技能、方法、思想的過程中發現和提出自己的問題并加以研究。

            高中階段至少應為學生安排1次數學探究活動,學校和教師可根據各自的實際情況,統籌安排數學探究活動的內容和時間。例如,可以結合方程的近似求解、導數的應用等內容安排數學探究活動。

        數學建模是運用數學思想、方法和知識尋求建立數學模型解決實際問題的過程,已經成為不同層次數學教育重要和基本的內容。數學建模可以看成是問題解決的一部分,它的作用對象更側重于非數學領域,但需用數學工具來解決的問題。如來自日常生活、經濟、工程、理、化、生、醫等學科中的應用數學問題。

        數學建模可以通過以下框圖體現:

         

         

         

         

         

         

         

         

         

         


        數學建模是數學學習的一種方式,它為學生提供了自主學習的空間,有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用,體驗數學與日常生活和其他學科的聯系,體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程,增強應用意識;有助于激發學生學習數學的興趣,發展學生的創新意識和實踐能力。

        “課標”沒有對數學建模的課時和內容做具體安排,學校和教師可根據各自的實際情況,統籌安排數學建模活動的內容和時間。例如,可以結合統計、線性規劃、數列等內容安排數學建模活動。可以針對學生的不同發展水平,分層次開展多樣的數學應用與建模活動。形式可以是多種多樣的,常見的主要有以下三種:

            (1)  結合正常的課堂教學,在部分環節上“切入”應用和建模的內容,

            (2)  以數學應用和數學建模為主題的課外的活動,

            (3)  數學建模選修課程。

        數學文化具有十分豐富的內涵。一般來說,數學文化表現為在數學的起源、發展、完善和應用的過程中體現出的對于人類發展具有重大影響的方面。它既包括對于人的觀念、思想和思維方式的一種潛移默化的作用,人的思維的訓練功能和發展人的創造性思維的功能,也包括在人類認識和發展數學的過程中體現出來的探索和進取的精神和所能達到的崇高境界等等。

        認識數學文化的價值是理解數學文化的重要方面。這種價值體現在數學對于人的觀念、精神以及思維方式具有十分重要的影響,特別是數學的理性精神。事實上,在我們以往的教材和數學教學中一直在體現客觀地存在于數學中的無形的數學文化,數學文化與數學同在,只要有數學,就一定有數學文化。

        “課標”教材通過閱讀與思考、探究與發現等攔目,體現“課標”對數學探究、數學建模、數學文化的要求。如在模塊1中的“函數概念的發展歷程”“互為反函數的兩個函數圖象之間的關系”“對數的發明”“中外歷史上的方程求解”;模塊2中的“祖 原理與柱體、錐體、球體的體積”“笛卡爾與解析幾何”“歐幾里得《原本》與公理化方法”等。

        2.與“大綱”相比較,對高中數學內容的整體回顧和比較

        以下我們首先從內容的安排上對高中數學內容作一回顧和比較,以便使大家從整體上對新課程的變化有一個大致的了解。

         

        1)代數

         “大綱”課程              “課標”課程

         

        集合                     必修1

        常用邏輯用語(簡易邏輯)            選修1-1,2-1

        函數                     必修1

        指數函數,對數函數,冪函數            必修1

        三角函數,三角恒等變換,            必修4

        解三角形,數列,不等式            必修5

        復數                     選修1-2,2-2

        (2)幾 何

           “大綱”課程              “課標”課程

         

        立體幾何初步                 必修2

        空間向量與立體幾何               選修2-1     

        平面解析幾何初步               必修2

        圓錐曲線與方程                選修1-1,選修2-1

        平面向量                   必修4

         

        3)概   

            “大綱”課程              “課標”課程

         

        統計   概率                                                必修3

        統計案例                                                   選修1-2,選修2-3

        概率                                                         選修2-3                

        計數原理                                                   選修2-3

         

        4)微積分

        “大綱”課程                “課標”課程

         

            極限(只限理科學生)                             選修1-1,選修2-2

            導數

         

          5)新增內容

        算法                                                     必修3

        推理與證明                                            選修1-2,選修2-2

        框圖                                                     選修1-2

        統計案例                                               選修1-2,選修2-3

        函數與方程                                            必修1

        函數模型及其應用                                   必修1

         

        3.代數有關內容的要求、變化及其原由

        1)函數內容的要求、變化及其原由

        對函數內容的要求與變化旨在加強對函數本質的理解。

        ——關于函數內容的整體定位和基本要求:

        u  把函數作為刻畫現實世界中一類重要變化規律的模型來學習,是一種通過某一事物的變化信息可推知另一事物信息的對應關系的數學模型;

        u  強調對函數本質的認識和理解,因此要求在高中數學學習中多次接觸、螺旋上升;

        u關注背景、應用、增加了函數模型及其應用。

        u削弱和淡化了一些內容,如函數的定義域、值域,反函數、復合函數等。

        u  注重思想和聯系——增加了函數與方程、用二分法求方程的近似根。

        希望通過方程根與函數零點的內在聯系,加強對函數概念、函數思想及函數這一主線在高中數學中的地位作用的認識和理解。并通過用二分法求方程近似根將函數思想以及方程的根與函數零點之間的聯系具體化。

        二分法是求方程近似根的常用方法,更為一般、簡單,能很好地體現函數思想,“大綱”只是用三個二解決根的分布問題。

        u  合理地使用信息技術,旨在幫助學生更好地認識和理解函數及其性質。應注意的是,現代信息技術不能替代艱苦的學習和人腦精密的思考,信息技術只是作為達到目的的一種手段,一種快速計算的工具。

        ——對函數三要素要求的變化                                                             

        強調的是了解函數的構成要素和函數概念的整體性。對于定義域和值域,只要求會求一些簡單函數的定義域和值域,減弱了求定義域、值域的要求,尤其是要避免人為地編制一些求定義域和值域的難題、偏題,進行過于繁瑣的技巧訓練。這是與原有內容很不同的地方。

        ——關于反函數的變化

        弱化了反函數的概念,只以具體函數為例進行解釋和直觀理解,通過比較同底的指數函數和對數函數,說明指數函數 yax (a0a1)和對數函數 ylogax (a0,a1)互為反函數。不一般地討論形式化的反函數定義,也不要求求已知函數的反函數。互為反函數的兩個函數的圖象間關于直線 y=x 對稱的性質,只通過具體函數討論。

        為什么有上述要求的變化?首先是從數學上考慮,其次是針對現實教學中的情況。希望幫助學生更好地從整體上認識和理解函數的本質,而真正理解函數概念是不容易的。因此,不要在過于細枝末節的非本質問題上作過多的訓練,有了定義域和對應關系,值域自然就定了。那些人為地編制的一些求定義域和值域的難題、偏題,進行過于繁瑣的技巧等訓練,對于后繼課程的學習不僅沒什么用,更沒有理論意義,過于形式化的訓練也不能幫助學生更好地認識函數本質。此外,“課標”建議先講函數再講映射,也是為了幫助學生把注意力集中在函數本身,更好地理解函數,希望能對教和學起到良好的導向作用。

        2)指、對、冪函數的要求、變化及其原由

        u  對于指、對、冪數函數的學習,一方面是作為對函數概念學習的具體化,把他們作為具體的函數模型來學習;另一方面他們是基本初等函數,出于基礎性的考慮,與“大綱”相比又加上了冪函數。

        u  突出背景和應用,把指、對、冪函數作為三種不同的函數增長模型。安排了冪增長、指數增長、對數增長的比較” 。這是因為在現代生活中,經常碰到函數增長指數爆炸等概念,因此“課標”要求結合實例體會指數函數、對數函數以及冪函數增長差異,認識直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義。

        u    無理指數冪。但是只要求通過實例了解無理指數冪,體會逼近思想。

             3)三角函數的要求、變化及其原由

        u    作為對函數概念學習的具體化,把他們作為具體的函數模型來學習。

        u    突出三角函數作為描述周期變化的數學模型這一本質,增加了“三角函數模型的簡單應用”,提高了對解三角形應用的要求。

        u    以“實際問題——定義、誘導公式——圖象與性質——實際應用”為內容線索展開,加強整體性和聯系。

        u    重視數形結合思想的學習,如借助于單位圓理解三角函數的定義、借助于單位圓中的三角函數線推導誘導公式、同角三角函數的關系等。

        u    類少了,公式少了,更強調基楚性和數學的簡約性,如刪去了余切、正割、余割的定義,公式只保留了11個,重在培養學生的推理和運算能力。

        u    刪去了大綱中“已知三角函數值求角”、“反三角函數”等內容;降低了“給角求值”、“三角恒等式證明”、公式推導等要求。

        變化的原由在于“削枝強干”,體現新課程注重基礎,強調整體性和聯系的基本理念,體現數學的求簡精神。加強新課程的思想性,不只是教知識、訓練技能技巧,還要滲透思想方法,幫助學生學會數學思考,培養能力,培育意識。

            (4)數列的要求、變化及其原由

        u      將數列、等差數列和等比數列都作為一種特殊的函數、作為反映自然規律的基本數學模型來學習,加強了與函數的聯系,更注重背景和應用。

        u      要求學生通過對日常生活中大量實際問題的分析,建立等差數列和等比數  列這兩種數列模型,探索并掌握它們的一些基本數量關系,感受這兩種數列模型的廣泛應用,并利用它們初步解決一些實際問題。

        u      對于數列的概念、通項公式的要求比“大綱”低了。前者只是了解,后者與列表和圖象是同等地位,沒有單獨提出來。

        u      在對等差、等比數列的知識要求上與“大綱”大致相同,只是“課標”更關注學生的參與和發現、背景和應用,以及與函數的聯系。

        由上要求與變化可知,以往比較注重數列中各量之間關系的恒等變形。而“課標”對數列內容的處理突出了函數思想、數學模型思想以及離散與連續的關系。數列是一種離散函數,它是一種重要數學模型。日常生活中遇到的許多問題,如貸款、利率、折扣,人口的增長,放射性物質的衰變等都可以用等差數列和等比數列來刻畫。等差數列、等比數列又是一次函數、指數函數的離散化。總之,希望能從函數的觀點、模型的觀點、連續與離散的關系等角度認識數列,突出數列的本質。

         

        (5)不等式的要求、變化及其原由

        u      在知識上刪去了解絕對值不等式和解分式不等式的要求;刪去了不等式的證明;只要求會解一元二次不等式,不要求會解多元不等式。不要求用基本不等式作推理證明。

        u      提高了對不等式背景和應用的要求,例如:強調基本不等式在解決簡單的最大(小)問題中的作用。

        u      關注不等式的幾何意義。

        由上要求和變化可知,對于不等式的內容,以往的課程比較關注不等式作為研究函數的一個工具,關注不等式的解法。而新課程更多的是關注不等式是刻畫和描述現實世界中事物在量上的區別的一種工具,是描述刻畫優化問題的一種數學模型;淡化了解不等式的技巧性要求,突出了不等式的實際背景及其應用,例如,將線性規劃問題作為不等式的應用來處理;突出了不等式的幾何意義及在解決優化問題中的作用。希望能為學生理解不等式的本質,體會優化思想奠定一定的基礎。

        4.幾何課程內容的要求、變化及其原由

        (1)關于幾何課程的整體定位和基本要求

        “課標”指出:三維空間是人類生存的現實空間,認識空間圖形,培養和發展學生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力,是高中階段數學必修系列幾何課程的基本要求。在立體幾何初步部分,學生將先從對空間幾何體的整體觀察入手,認識空間圖形;再以長方體為載體,直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系;能用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定,并對某些結論進行論證。學生還將了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法。在必修課程的立體幾何中,主要是通過直觀感知、操作確認,獲得幾何圖形的性質,并通過簡單的推理發現、論證一些幾何性質。對于進一步的論證與度量則放在選修系列2中用向量處理。

        解析幾何的本質是用代數方法研究圖形的幾何性質,體現了數形結合的重要數學思想。在平面解析幾何初步中,學生將學習在平面直角坐標系中建立直線和圓的代數方程,運用代數方法研究它們的幾何性質及其相互位置關系,并了解空間直角坐標系。體會數形結合的思想,初步形成用代數方法解決幾何問題的能力。圓錐曲線與方程的內容則放在選修系列12中。

        為了更好地體現“課標”的目標和要求,幾何課程設置有較大的變化:

         首先,“課標”對幾何課程的內容是分三個層次設計的,即必修課程中的幾何,選修系列12中的幾何,選修系列34中的幾何。必修課程中的幾何包括立體幾何初步、解析幾何初步、平面向量、解三角形等。選修系列12中的幾何包括圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。選修系列34中的幾何主要包括球面上的幾何、坐標系與參數方程、幾何證明選講等專題。

        其次,與“大綱”課程中的立體幾何內容相比,“課標”中立體幾何內容的變化還表現在內容的定位、處理方式等方面的變化。

        2)立體幾何的定位、內容處理的變化及其原由

        “課標”中的立體幾何定位于全面看待立體幾何的教育價值:培養和發展學生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力及幾何直觀能力;培養和發展學生的推理能力,包括邏輯推理能力和合情推理能力等。 

        在處理方式上,與以往從局部到整體展開幾何內容的方式不同,“課標”是按照從整體到局部的方式展開幾何內容的,并突出直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等探索研究幾何的過程,當然,在具體教學中,整體與局部、宏觀與微觀應該是有機聯系的,并且應注重三種語言的使用和轉換訓練。

        內容的分層設計不僅體現在上面所說的分必修;選修1、選修2;選修3、選修4三個層次。在必修課程中,也是分層次設計的:考慮到形狀是空間幾何體的結構特征,因此“課標”建議首先借助于豐富的實物模型、圖片,或運用計算機軟件所呈現的空間幾何體,通過對這些空間幾何體的整體觀察、思考等活動,概括出柱、錐、臺、球的結構特征,結合畫三視圖和直觀圖作進一步認識,運用這些特征描述現實生活中的一些簡單物體的結構。在上述基礎上,以長方體為載體,直觀認識和體會空間的點、線、面之間的位置關系,抽象出空間線、面的位置關系(平行與垂直)的定義,并了解一些可以作為推理依據的公理和定理 。再以空間幾何中的定義、公理和定理為出發點,通過直觀感知、操作確認,歸納出一些判定定理與性質定理,并對性質定理加以邏輯證明,能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。至于判定定理,在選修系列2-1中,用向量的方法加以嚴格的證明。概括地說,內容處理上的變化主要體現在:

        u      從整體到局部的設計,希望能更貼近學生的認知規律,這是一個大的變化。

        u      合情推理與邏輯推理的有機結合,希望避免以往幾何課程中以論證幾何為主線展開幾何內容造成的過于形式化,以及由此給學生帶來的困難,使學生在較為自然的探索過程中學習數學的思考方式。

        u      強調自然語言、圖形語言、符號語言等三種語言的協同訓練。

        u      體現直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算的幾何學習過程。

        u      增加了三視圖、空間坐標系。

        變化的目的,一是希望能增進學生對幾何本質的理解,培養學生對幾何學習的興趣;二是希望更貼近學生的認知規律,克服以往以論證幾何為主線、從局部到整體展開幾何內容造成的過于形式化,以及由此給學生認知帶來的困難,使學生在較為自然的探索過程中學習幾何。此外,對于解決幾何學習容易造成學生兩極分化的問題也是有幫助的。三是對現實立體幾何教與學中問題的思考,希望降低立體幾何入門的門檻,把學習的難點分散。

        3)平面解析幾何的變化及其原由

        相對來說,這一部分的內容變化要小一些。主要是更加強調了解析幾何方法的靈魂及其體現。目的是幫助學生更好地領悟解析法,習慣于從數和形兩個角度去思考問題、處理問題,這也是學習數學的基本方法。

        u          強調數形結合是解析法的靈魂。數形轉換、數形結合這一重要的思想。具體體現在:

        在直線與方程、圓與方程的內容中,首先探索確定直線和圓的幾何要素,用坐標表示他們,再根據確定直線和圓的幾何要素探索建立直線和圓的方程的幾種形式。

        u          強調幾何背景和學生發展的需要。例如,與“大綱”課程相比,“課標”更關注圓錐曲線的來龍去脈,關注其幾何背景。并改變了原來缺乏層次、要求單一的設計,對于不同的學生設計了不同的層次,如對希望在人文、社會科學等方面發展的學生,更強調對橢圓這一特殊的圓錐曲線有一個比較全面的了解,而其他的圓錐曲線只作一般性了解。這樣做在很大的程度上,是關注學生自身的發展與需要。

         

        5.概率統計的要求、變化及其原由

        1)概率統計的整體定位和要求

        現代社會是信息化的社會,人們常常需要收集數據,根據所獲得的數據提取有價值的信息,作出合理的決策。統計是研究如何合理收集、整理、分析數據的學科,它可以為人們制定決策提供依據。隨機現象在日常生活中隨處可見,概率是研究隨機現象規律的學科,它為人們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法,同時為統計學的發展提供了理論基礎。因此,統計與概率的基礎知識已經成為一個未來公民的必備常識。

        “課標”要求學生在義務教育階段學習統計與概率的基礎上,通過實際問題情境,學習隨機抽樣、樣本估計總體、線性回歸、獨立性檢驗等基本方法,體會用樣本估計總體及其特征的思想。通過解決實際問題,較為系統地經歷數據收集與處理的全過程,體會統計思維與確定性思維的差異。

        結合具體實例,學習概率的某些基本性質、簡單的概率模型、隨機變量及其分布等知識,加深對隨機現象的理解,能通過實驗、計算器(機)模擬估計簡單隨機事件發生的概率。

        在選修2-1和選修2-3中增加了統計案例,通過對典型案例的討論,了解和使用一些常用的統計方法,進一步體會運用統計方法解決實際問題的基本思想,認識統計方法在決策中的作用。

        在選修2-3中還將學習計數原理、隨機變量及其分布等。

        (2)與“大綱”的整體比較

        內容上:加強了統計(抽樣理論,估計理論)、 概率定義,古典概型;增加了幾何概型、統計案例(回歸分析,假設檢驗),隨機變量及其分布等。其目的是為了加強對統計思想的認識和理解;培育參與意識以及培養運用統計思想解決實際問題的能力。

        結構上: 文、理科中的統計由選修變為必修,這“課標”課程的模塊結構引起的變化。由先概率后統計變為先統計后概率,這是希望能更好地體現自然的認識過程——概率是研究隨機現象規律性的科學,而人們在對隨機現象認識的過程中,首先要進行一些統計工作,經過大量的統計數據,才能從中發現隨機現象的規律性。由先計數原理后概率變為先概率后計數原理,目的是希望加強對概率本身的認識,更好地認識概率的思想和本質。

        教學上: 由圖表、數據的計算轉變為強調概率、統計的思想,參與和運用概率、統計思想解決實際問題的能力。

        (3)為何在統計教學中要強調案例教學

        新課程對統計內容的學習強調通過具體實例和案例的學習。首先是因為統計的研究對象使得統計與其他數學內容有很大的差別:其他數學內容更強調演繹推理,而統計問題往往是根據具體事物歸納出來的,所以更強調歸納的過程。其次是因為中學生的基礎和認識水平,決定了學習統計不應該是從定義定理出發,而應該是從具體的實例出發,這樣做有助于學生了解解決統計問題的全過程:提出統計問題,收集數據,整理、分析數據,提取信息,得出推斷,做出預測與決策;有助于學生了解統計基本概念(如總體和樣本);有助于學生掌握用統計解決問題的基本方法,并在解決問題的過程中進一步加深理解統計的基本思想。

        好的統計案例,應從下面幾個方面考慮:一是問題來自學生的生活實際或是現實問題;二是問題能體現出統計思想;三是能引起學生的興趣并適合學生的認知水平;四是便于使用信息技術。

         

        (4)概率的變化及其原由

        在自然科學和社會科學以及市場經濟中,人們遇到了越來越多的隨機現象。對隨機現象的正確認識是每一個公民應有的文化素質。這也正是“課標”設置概率課程的基本目的。

        概率課程的一個大的變化是先學概率后學計數原理。過去中學的概率學習是先學計數原理后學概率,用排列組合計算古典概率會帶來一些方便,但是,排列組合的題目可以很難,學習的重點自然就會變成了如何計數,而不是如何認識和理解隨機現象。造成的結果是學生學完后計數原理忘了,不會算了,就留不下東西,不能很好地認識周圍發生的隨機現象,如天氣預報,彩票中獎等。“課標”更強調對隨機現象的認識,強調對概率本質的認識,因此,在學習計數原理后再學概率,希望能幫助學生更好地認識隨機現象,認識概率的本質。有利于學生的終身發展,這是“課標”基本理念的具體體現。

        6.微積分內容的要求、變化及其原由

        在高中數學新課程中,“導數及其應用”這部分內容的要求和處理有了較大的變化,這是基于“課標”突出數學本質、為學生的終身發展、更好地適應社會發展和對人才需求的基本理念。

        “導數及其應用”分別安排在選修系列1-1和選修系列2-2中學習。其中,對導數概念的認識、導數在研究函數性質中的應用,以及生活中的優化問題舉例等內容,選修系列1-1和選修系列2-2的學習和教學要求基本上是一樣的。稍有區別的是在選修系列2-2中,增加了定積分與微積分基本定理的內容;此外,對運算的要求略有提高。選修系列2-2比選修系列1-1增加的有:(1)關于導數的運算,常見函數的導數增加了求兩個函數的導數;增加了求簡單復合函數導數(僅限于形如)。(2)增加了定積分概念和微積分基本定理。因為考慮到理科對數學的實際要求多一些、也高一些。

        “課標”對這部分內容的調整進行了反復的研究與思考:為何在我國中學數學中微積分會出現幾進幾出的安排?如何使學生感受學習導數的必要性,幫助學生了解導數在研究函數性質和生活中涉及的導數的初步應用?如何使學生較好地認識導數的本質,不僅將導數作為一種規則,更作為一種重要的思想、方法來學習?如何更有效地學習導數的相關內容?如何滲透算法思想、以及與現代信息技術的整合?等等。下面我們對上述問題作簡要分析。

         1)我國中學數學課程中微積分幾進幾出的主要原因

        “課標”研制前期首先分析了微積分在我國中學數學課程中幾進幾出的原因,除了高考影響外,主要原因是定位不當:

        u      把中學微積分內容作為大學微積分內容的一種縮編,簡單下放。學習的是壓縮簡編的微積分,是按照微積分學科體系的基本線索:極限理論連續理論導數與微分積分理論微積分基本定理展開的。

        u      先講極限概念,把導數作為一種特殊極限來講,于是,形式化的極限概念就成了學生學習的障礙。一是學習形式化極限本身帶來的困難,二是把導數作為一種特殊的極限來學習,對導數概念缺乏感受和認識。

        u      無論是導數概念,還是導數的應用,更多的是作為一種規則來教和學,會用公式和法則進行計算,一旦公式和法則忘記了,就留不下什么東西了。嚴重影響了對導數概念本身的認識和理解。造成的結果是:大學不受歡迎,存在著炒夾生飯現象,中學也感受不到學導數的好處,反而加重了學生的負擔。

        2)“課標”對“導數及其應用”內容的基本定位

        u      強調對數學本質的認識,對導數本質的認識,不僅作為一種規則,更作為一種重要的思想、方法來學習。

        u      全面體現數學的價值,包括應用價值:了解導數是研究事物變化快慢、研究函數單調性、極大(小)值、最大(小)值和解決生活中優化問題的有力工具——導數的廣泛應用性;體會微積分的科學價值和文化價值:人類文明與科技、社會的發展對微積分創立的促進作用,以及微積分的創立在人類科學文化發展中的意義和價值。

        u      體現數學的教育價值。

        3)處理方式上的變化及其原由

        與原有教材相比較,“課標”在內容的處理上有很大的變化,主要表現在:

        u      突出導數概念的本質,感受和領悟微積分的基本思想,而不是學習壓縮簡編的微積分

        不講極限概念,不是把導數作為一種特殊的極限(增量比的極限)來處理,而是直接通過實際背景和具體實例——速度、膨脹率、效率、增長率等反映導數思想和本質的實例,引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程,并通過提出恰當的問題使學生感受學習瞬時變化率的必要性。然后,在對實際背景問題研究的基礎上,抽象概括出導數的概念。例如,通過問題“ 研究高臺跳水運動員從騰空到進入水面的過程中不同時刻的速度”以及恰當的問題,經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程,引出瞬時速度的概念,為抽象出導數概念作準備。體會導數的思想,體會導數與變化率的關系:凡變化的對象,都有變化率的問題,導數就是某個時刻的瞬時變化率。現代社會中存在著大量這樣的問題,新課程希望給學生對他今后的學習和步入社會后,能留下對微積分的一些實際認識。

        同時也體現“課標”讓學生在經歷過程中感受數學的思想,認識數學,主動參與數學教學活動的基本理念。

        u      強調導數在研究事物的變化率、變化的快慢,研究函數的基本性質和優化問題中的應用,并通過與初等方法比較,感受和體會導數在處理上述問題中的一般性和有效性。

        應用導數探索函數的單調性、極值等性質及其在實際中的應用,感受導數在解決數學問題和實際問題中的作用,體會微積分的產生對人類文化發展的價值。

        u      淡化計算

        針對以往微積分教學中的問題,以及“課標”對這部分內容的定位——強調對導數本質的認識,不僅作為一種規則,更作為一種重要的思想、方法來學習。因此,在處理導數的計算時,首先對幾個常見的函數(如:),用導數定義求出它們的導數,然后直接給出其它基本初等函數的導數以及導數的運算法則,只要求學生會用基本初等函數的導數以及導數的運算法則來計算導數,而且明確指出“要避免過量的形式化運算練習”。與選修系列1-1相比,選修系列2-2對運算的要求略有提高,如增加了求簡單復合函數(僅限于形如)的導數。

        u      重視幾何直觀等思想方法的滲透和學習

        反復通過圖形去認識和感受導數的幾何意義,以及用導數的幾何意義去解決問題,通過圖形去認識和感受導數在研究函數性質中的作用。以往對導數幾何意義的處理和要求是較弱的,“課標”提高了對導數幾何意義以及用導數的幾何意義去解決問題的要求,其目的一是加深對導數本質的認識和理解,二是體現數學中幾何直觀這一重要數學思想方法對于數學學習的意義和作用:

        導數作為刻畫函數變化的瞬時變化率,能從數量上反映函數在一個點附近的變化情況,導數的符號可以反映函數是增還是減,導數絕對值的大小可以反映函數增減的快慢。我們知道,函數的單調性是指當自變量增加(減少)時,函數值是增加還是減少?從函數圖象即幾何的角度看,就是函數圖像“走勢”的變化規律:是上升還是下降?而上升或下降的快慢,即圖象“走勢”是“平緩”還是“陡峭”可以通過導數絕對值的大小反映出來,“課標”希望結合函數圖象幫助學生認識和理解導數在研究函數單調性中的作用,使他們對函數的單調性有一個更完整的深入的認識和理解。

        u      關注算法思想的滲透,以及與信息技術的整合

        “算法”是高中課程中新增加的內容,“標準”明確指出:算法是數學及其應用的重要組成部分,滲透算法思想是算法學習的一個重要方面,與信息技術的有機整合也是“課標”的一個基本理念。因此,“課標”建議在閱讀材料中,通過介紹用切線法求方程的近似解,來滲透算法思想,以及與信息技術的有機整合。

        總之,為了更好地體現課程改革“進一步提高未來公民所必要的數學素養,以滿足個人發展與社會進步的需要”的總目標,體現課程的時代性和基礎性、強調本質、強調聯系的基本理念;也是基于對我國中學數學課程中微積分內容幾進幾出原因分析,以及對微積分教學現狀的思考。“課標”對“導數及其應用”內容的處理有了上述變化,并提出了相應的要求。

             7.新增內容及增加的原由

        新課程的基本理念之一是要與時俱進地認識“雙基”。因此,除了在一些原有內容的要求和處理上有相應的變化外,還增加了算法、推理與證明、框圖、統計案例等新的內容。

        1)算法

        算法是高中數學課程中的新增內容,其基本思想是非常重要的,例如,帶余除法、運用消元法解二元一次方程組、求最大公因數、用二分法求函數零點等都是體現算法及其基本思想的典型實例。因此,“算法”一詞雖然對中學數學內容來說較為陌生,但并不神秘。

        ——增加的原由

        增加“算法初步”是“課標”基本理念的具體體現

        “課標”指出,算法是數學及其應用的重要組成部分,是計算科學的重要基礎。隨著現代信息技術飛速發展,算法在科學技術、社會發展中發揮著越來越大的作用,并日益融入社會生活的許多方面,算法思想已經成為現代人應具備的一種數學素養。增加“算法初步”是“課標”時代性與時俱進地認識“雙基”的基本理念的具體體現。

        下面我們對這部分課程的內容與要求,以及應注意的問題等方面作簡要的分析。

        ——課程內容與要求

        u      整體要求

        對“算法初步”的整體要求是:在義務教育階段初步感受算法思想的基礎上,結合對具體數學實例的分析,體驗程序框圖在解決問題中的作用;通過模仿、操作、探索,學習設計程序框圖表達解決問題的過程;體會算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,發展有條理的思考與表達的能力,提高邏輯思維能力;將算法的學習滲透在整個高中數學課程的學習中。

        u      課程內容與要求

        ①算法的含義、程序框圖

        通過對解決具體問題過程與步驟的分析(如二元一次方程組求解等問題),體會算法的思想,了解算法的含義。

        算法至今沒有一個統一定義。因此,“課標”要求通過對解決具體問題步驟的概括,如解二元一次方程組的步驟,給出算法的含義:算法通常是指按照一定規則解決某一類問題的明確和有限的步驟。在此基礎上,還可通過一些實例,如質數的判定、用二分法求方程的近似解這些學生熟悉的問題,分析其算法步驟以幫助學生進一步理解算法的基本含義。

        通過解決具體問題的步驟來表達算法的含義通俗易懂,但是不夠準確,算法的基本結構也不清晰。因此,“課標”建議通過框圖形式表示具體問題的解決,如“質數的判定”的算法,介紹算法的基本邏輯結構(順序結構、條件結構、循環結構),以及用程序框圖表示算法的方法,使學生認識到程序框圖表示的算法步驟更直觀,也更準確.

        “課標”要求通過模仿、操作、探索,經歷設計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題的解決過程中(如三元一次方程組求解等問題),使學生體驗為了有條理地、清晰地表達算法,需要將解決問題的過程整理成程序框圖;理解程序框圖的三種基本邏輯結構:順序結構、條件分支結構、循環結構。

        順序結構、條件結構、循環結構是算法的三種基本邏輯結構,從理論上來說,任何復雜的算法都可以用這三種基本邏輯結構來實現。框圖是理解和表達這三種基本邏輯結構的最好方式,同時,這三種基本邏輯結構也是程序框圖的構成要素。因此,將這三種基本邏輯結構的教學與程序框圖的學習結合起來,不僅降低了這三種基本邏輯結構的學習難度,也為學習程序框圖的畫法提供了前提條件。此外,也希望讓學生認識到學習三種基本邏輯結構與程序框圖對于“有計劃按步驟”地完成一件事情的好處,發展有條理地思考和數學化地表達的能力。

        ②基本算法語句

        在現代社會中,越來越多的事情可以由計算機來完成,而計算機完成任何一項任務都需要算法,因此算法是計算機科學的基礎。但是,用自然語言或程序框圖描述的算法計算機是無法“理解”的,因此我們需要將算法用計算機能夠理解的語言表達出來,這就是通常所說的程序與程序設計,所用的語言稱為程序設計語言。

        程序設計語言是由一些有特定涵義的程序語句構成的,與程序框圖中介紹的算法的三種基本邏輯結構相對應,“課標”要求理解幾種基本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句,進一步體會算法的基本思想。

        ③通過閱讀中國古代數學中的算法案例,體會中國古代數學對世界數學發展的貢獻,增強民族自豪感

        中國古代數學以算法為主要特征,取得了舉世公認的偉大成就,是數學文化的重要組成部分。中國古代數學著作《九章算術》是其中的杰出代表。此外,中國古代數學中的割圓術、多項式求值的秦九韶算法等也都是體現算法及其思想的典型算法案例,“課標”建議選擇相應的內容作為閱讀材料,使學生體會中國古代數學對世界數學發展的貢獻,增強民族自豪感。

         

        ——應注意的問題

            強調算法基本思想

        中學階段安排算法的學習,除學習必要的算法初步知識外,更重要的是使學生接受算法思想的熏陶,而不是以學習多少算法知識為目標。因此,無論是算法的含義、三種基本邏輯結構(順序結構、條件結構、循環結構)、程序框圖及其畫法、五種基本算法語句(輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句)和簡單程序的編寫,更多的應關注算法思想的提煉,而不是把注意力放在更多的算法知識的學習上。

            算法學習必須通過實例進行

        使學生在解決具體問題的過程中學習一些基本邏輯結構和語句。有條件的學校,應鼓勵學生盡可能上機嘗試。

        與其它數學內容的學習相比較,算法學習的一個最大的特點就是操作實踐性強。因此,在安排具體內容時,要求結合具體例子安排算法知識的學習。例如,可用學生熟悉的“二元一次方程組的解法”介紹算法的含義,使學生明確算法實際上就是解決問題的一種程序性方法,它通常指向某一類問題.;用“質數的判定”的程序框圖介紹程序框、流程線與基本邏輯結構;“用二分法求方程的近似解”介紹程序框圖的畫法;用“計算12+…+100的值”介紹直到型與當型兩種不同的循環結構與循環語句,等等。

              如果條允許,盡可能的讓學生上機實現,或模擬上機實現,這是檢驗學生學習算法的一種方式,也是學生比較感興趣的部分。在實例教學中讓學生理解和初步掌握算法的基本思想和操作過程。通過模仿、操作、探索,經歷“寫出算法步驟、畫出程序框圖、編制程序、上機驗證”的全過程,并由此落實算法教學內容。

            突出教學重點,體會算法思想

        切忌將算法課變成程序設計課。應該抓住用程序框圖表示算法這個核心突出教學重點,突破程序框圖的畫法這個難點,理解算法的三種基本邏輯結構和基本算法語句的對應關系,通過具體算法案例所蘊涵的算法思想,重點培養學生利用算法解決問題的意識,并明確自然語言描述的算法步驟、程序框圖和程序是不同形式的算法,它們體現了算法逐漸“精確”的過程。

            充分關注算法思想在其它數學內容中的滲透

        不僅在必修3中的算法教學應注意將算法與其它數學內容聯系,而且還應充分關注將算法思想滲透到后續的高中數學課程的學習中去,鼓勵學生盡可能地運用算法解決相關問題。例如,在概率教學時,我們可以給出以下的例子:“天氣預報說,在今后的三天中,每一天下雨的概率均為40%。這三天恰有兩天下雨的概率是多少?”試利用整數型隨機數設計算法,估計概率。

        2)推理與證明

        ——增加的原由

        我們都知道,推理與證明貫穿于整個數學課程,對于它的系統學習是新課程的一個變化。目的是希望能對以前所學知識與方法作一個總結、歸納,并對后繼學習起到促進的作用;希望通過此內容的學習,使學生進一步學會數學的學習和思考方式,為步入社會起到促進學生發展的作用。

        ——應關注的問題

        u      推理與證明是數學的基本思維過程,是學數學、做數學的一種基本功,也是人們學習和生活中經常使用的思維方式,是發展理性思維的重要方面。

        u      合情推理具有猜測和發現新結論、探索和提供解決問題的思路和方法的作用;演繹推理則具有證明結論,整理和建構知識體系的作用,是公理體系中的基本推理方法。兩者緊密聯系、相輔相成,對它們的系統學習有利于培養和發展學生的邏輯思維能力和創新思維能力,發展理性思維,使學生體會并認識合情推理在數學發現中的作用,體會證明的功能和特點,以及在數學和生活中的作用,養成言之有理、論之有據的習慣。

        u      通過變隱性為顯性、分散為集中,通過挖掘、提煉、明確化,使學生知道:數學與其它學科的不同除了研究對象不同之外,最突出的就是數學對象內部的真確性必須用邏輯推理的方式來證明,在證明過程中不僅用到演繹推理,而且要用到合情推理,尤其是對一些較為復雜的問題,演繹推理與合情推理經常是交替使用的。

        u      使學生懂得如何學會數學地思考,感受和體會推理與證明在學習數學以及日常生活中的意義和作用,提高數學素養。

        u      在教學中,要力求通過恰當選擇有關內容,可以從已學的內容和問題中,引導學生觀察提煉思想方法;精心設計問題,激發學生思維,引發學生猜想;利用類比和歸納,進行特殊到一般的思維訓練;利用演繹證題,揭露蘊涵性質等。漸進地培養學生的自主探索意識和推理能力。要讓學生感受探究的過程,通過觀察問題和從問題發現到對問題解決的整個思維過程,讓學生真實地感受到數學的創造過程,它需要經歷觀察、試驗、歸納結論,最后再加以嚴格證明的一個完整的歸納推理和演繹推理相結合的思維過程。例如:關于凸多面體的“歐拉公式”:任意凸多面體的頂點(V)、面(F)、棱(E)、之間有關系式:V+F-E=2的探究思路。
           

        3)框圖

        ——增加的原由

        框圖是表示一個系統各部分和各環節之間關系的圖示,它的作用在于能夠清晰地表達比較復雜的系統各部分之間的關系。框圖已經廣泛應用于算法、計算機程序設計、工序流程的表述、設計方案的比較等方面,也是表示數學計算與證明過程中主要邏輯步驟的工具,并將成為日常生活和各門學科中進行交流的一種常用表達方式。 “課標”在選修1-2中設置了框圖的內容,是為希望在人文社科方面發展的學生新增加的內容,目的是希望通過框圖有關內容的學習,幫助學生清晰地表達和交流思想,提高學生的抽象概括能力和邏輯思維能力,提高學生思維的條理性,養成用框圖清晰地表達和交流思想的習慣,以更好地適應現代社會對未來人才基本素養的要求。

        ——內容與要求

        這部分內容應在必修3算法中學習程序框圖有關知識的基礎上,通過具體實例,“進一步”認識程序框圖。如畫出用二分法求方程的近似根的程序框圖。通過具體實例了解工序流程圖(即統籌圖)——由一些圖形符號和文字說明構成的圖。工序流程圖可以直觀、明確地表示動態過程從開始到結束的步驟,在日常生活和工作的很多領域都有廣泛應用。通過實例,了解結構圖——一種描述系統結構的圖示。一般有構成系統的若干要素和表達各要素之間關系的連線(或方向箭頭)構成。連線通常按照從上到下、從左到右的方向表示要素的從屬關系或邏輯的先后關系。

        4)統計案例

        ——增加的原由

        考慮到統計在日常生活中的廣泛應用,學生需要具備一定的數據處理能力,了解和使用一些常用的統計方法。因此,“課標”在選修系列1和系列2中都安排了“統計案例”這一內容。

        ——內容與要求

        在必修3學習的基礎上,通過對典型案例(如“人的體重與身高的關系”等)的探究,進一步討論一元線性回歸模型,分析產生隨機誤差項的原因,從相關系數的角度研究兩個變量間線性相關關系的強弱,使學生了解在什么情況下可以考慮使用回歸模型,了解回歸的基本思想、方法及初步應用。

        通過對典型案例(如“肺癌與吸煙有關嗎”等)的探究,了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯表)的基本思想、方法及初步應用。

        ——應注意的問題

        這部分內容是新增加的內容,有一定難度,在教學中要把握好以下幾個方面:

        u      給學生提供聯系實際、為學生感興趣的典型實例,激發學生的學習興趣

        教學中,教師首先要盡可能選擇聯系實際的、貼近學生的、學生感興趣的、能反映統計方法的典型案例,引導學生就如何解決案例中的問題展開討論,以激發學生的學習興趣。

        u      引導學生自己設計解決問題的方案探索解決問題的途徑,認識所學的基本思想、方法

        數據處理的能力需要建立在學生親自處理數據、解決問題的基礎上。在對統計案例進行討論后,教師不宜采取直接介紹方法,然后讓學生模仿的教學方式。應引導學生嘗試設計解決問題的方案,探索解決問題的途徑,以使他們經歷問題處理的過程,培養他們對數據的直觀感覺,認識統計方法的特點(如統計推斷可能犯錯誤,估計結果的隨機性),體會統計的基本思想、方法。

        u      引導學生借助案例體會統計方法的基本思想,不要求追究方法的理論基礎,避免單純記憶和機械套用公式

        考慮到高中學生的認知特點,教學中更加強調的是具體案例所使用的方法、具體方法所反映的思想。對于這些方法的合理性,教學中只要學生能根據案例直觀體會(實際上也是這種方法的原始產生過程)即可。

        u 回歸分析在必修部分統計中已經有所討論,由于它的應用極其廣泛,這里希望學生能進一步加深理解其思想,能用配方法導出其回歸系數公式。也可以通過實例,討論一下可線性化的非線性回歸問題。

        這里我們還要說的一點是,在“課標”中設計的是四個案例,教材審定組考慮到這部分新增內容的難度和現實情況,刪去了其中的兩個案例,保留了現有教材中安排的兩個案例。

        四、實驗調查的一些結果與思考

        從人教社國家級社科基金“十一五”規劃國家課題“新課改后各類教材特點的比較研究”子課題“新課改后中學數學教材的比較研究”教材使用情況的調查與分析(高中部分)所反映出來的情況看,新課程帶來了新的變化:

        首先是認識上的變化,越來越多的教師認可“課標”的改革理念和課程的設計意圖;越來越多的教師認識到數學和數學教育的價值:數學是有用的,數學離我們很近,尤其是在育人方面的價值,數學能培育人們理性的思維方式,促進人們有條理地思考,表達清楚,有效地進行交流;使人實事求是,鍥而不舍,使人得到文化方面的修養,更好地理解、領略和創造現代社會的文明。其次是在課堂教學方面的變化,我們的教師歷來在課程的實施中敬業精神強;基于“大綱”的要求,教學中關注數學思想方法的教學,關注“三大能力”的培養;有一批優秀的教師數學素養好,能按科學的教學規律進行課堂教學;在新課程的實驗過程中,有越來越多的教師認識到課堂教學必需從數學上把握好教學內容,必需遵循教學規律,必需研究學生的認知水平,教學研究逐漸深入,一些實驗區在人教社中數室的課題“數學核心概念思想方法教學設計的理論與實踐研究”帶動下,研究型的教學骨干隊伍在原有基礎上正在不斷擴大和成長,老師們深切地感受到:能自如應對不斷前進、不斷變化的數學教育最有效的途徑是不斷提高自身的雙專業素養——數學素養和教學素養。

        在實驗進程中積累了一些經驗,也不可避免地也暴露了不少問題,這是課程改革進程中必然會出現的現象,重要的是需要我們進行認真的思考,分析主、客觀原因,對有關部門提出建議,也對自身的行為作出相應的調整,以促進新課程的健康發展。這里,我們側重以下幾個方面的問題作一些分析。

         

        (一)對原有內容處理變化的調查與思考

        1.關于先講函數后講映射的反映與思考

        從人教社課題調研的數據看,三分之二的老師認為,函數教學應該“先講映射再講函數”。但“課標”建議先學習函數再學習映射,這是考慮到函數是一個不易理解的概念,從多數中學生的認知水平來看,先學函數后學映射有助于他們把注意力集中到函數本身,體會函數概念的本質,也有助于與初中函數學習的銜接。

        從數學發展史看,函數思想源于運動、變量和曲線的數學描述,函數概念于16——17世紀逐漸形成。

        函數一詞是由萊布尼茲于1673年最早引入的,用來表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量。如:曲線上點的坐標、點的斜率、曲率半徑等等。其后,伯努利把函數看作一個變量和一些常數組成的表達式。歐拉在伯努利之后把函數看作是含變量和常數的任何方程和公式。不難看出,他們對函數的界定都沒跳出“表達式”的范圍。

        函數記號fx)是克雷羅和歐拉在1734年前后引進的。狄利克雷在1837年給出了函數定義,直至此時,才開始注意到函數的本質——對應關系,跳出了“表達式”的框框,把函數定義為:“如果兩個變量xy有這樣的關系:每當給x指定一個值,根據某種規則,就自動地給y指定一個值,則我們說yx是的函數,x可取的允許值構成函數的定義域,y所取的值構成函數的值域”。現行初中教材中的函數定義就是由此而來的。一般把這種定義方式叫函數的“變量說”。

        20世紀初,取消了函數概念中變量只能為數的限制,突出了函數的本質特征——對應關系,用集合論的語言定義為:“設AB為兩個集合,如果按照某個確定的對應關系,對于集合A中每一個元素x,總有集合B中唯一確定的元素y與之對應,那么這個對應關系就叫做一個映射,當AB為數集時,稱為函數”。這是高中數學中函數的定義方式,一般把這種定義方式叫做函數的“對應說”或“映射說”。

        除了上述兩種定義方式外,還可以用關系來定義,把函數作為一種特殊的關系:“一個二元關系f若滿足:(x1y1 f x1y2 f ,則y1=y2,就稱f為函數。”這種定義方式即函數的“關系說”。

         “變量說”的優點是形象、直觀、自然,通俗易懂。但沒有突出函數的本質——對應關系。“對應說”和“關系說”建立在集合論的基礎上,更接近現代數學的語言,普適性強,更重要的是它們都抓住了函數的本質——對應關系。

        “關系說”完全用集合論的語言敘述,是完全數學形式化的表述,便于計算機接受,但過于形式化,抽去了函數關系的生動直觀——變量變化及相互依賴關系的特征,看不見對應關系的形式和規律,對初學者來說不易理解和掌握。“課標”建議先講函數再講映射,一是考慮到從特殊(函數)到一般(映射)更加符合中學生的認識規律,有利于學生把注意力集中到對函數的認識;二是有助于與初中知識的銜接。人教A版教材以較為直觀的3個實例引入,既符合初中學習的函數定義,與學生在初中已有的知識經驗有較好的銜接,又讓學生經歷從具體到抽象的概括過程,在初中學習的基礎上提升對函數的認識,用集合的語言給出函數形式化的定義,明確指出對應法則,并用抽象的符號表示。

            因此,為了幫助學生把注意力集中在函數本身,更好地認識函數的實質,我們還是建議先講函數后講映射,在實踐中進行思考和比較研究,不要簡單地作出肯定或否定。

        2.先概率后計數原理的反映和思考

        從實驗區的調查情況來看,反映不一,部分教師認為這樣的安排有助于學生對概率本身的認識,但不少教師對這樣的設計還不適應、不認可。

        我們都知道,計數原理與概率是兩個不同的概念,他們沒有必然的關聯,更沒有因果關系。當然,講了計數原理后,在講古典概型舉例子時局限性可以小一些、豐富些,計算也會方便些。但也許正是這樣,在以往教學中不自覺的就把注意力放在概率的計算上,而忽視了對概率思想、對概率本身的認識和理解。“課標”要求先講概率后講計數原理的意圖正是希望改變這種現象。更好的認識客觀世界中的隨機現象和概率的意義,嘗試澄清日常生活中遇到的一些錯誤認識(如“中獎率為1/1000的彩票,買了1000張一定中獎)。

        面對課程改革帶來的變化,我們需要更多的思考,要在繼承、借鑒中發展和創新,不要簡單地肯定或否定。無論是按新的要求做,還是因襲原來的做法,都需要首先認真思考自己為什么這么做?原來的課程設計長處是哪些?存在哪些不足?有哪些問題?學生通過學習相應的內容能得到些什么?能留下些什么?“課標”為什么有新的變化和要求?如果我們能在認真思考的前提下、在實踐一段時間后再去分析判斷,或許我們的行為和結果就不一樣了。

         

        3.不講極限講導數的反映和思考

        前面我們已提到,“課標”對微積分內容的調整進行了反復的研究與思考:為何在我國中學數學中微積分會出現幾進幾出的安排?如何使學生感受學習導數的必要性,幫助學生了解導數在研究函數性質和生活中涉及的導數的初步應用?

        如何使學生較好地認識導數的本質,不僅將導數作為一種規則,更作為一種重要的思想、方法來學習?如何更有效地學習導數的相關內容?等等。

         

        從數學發展史看,早在公元前560—公元前480年,畢達哥拉斯(約公元前580—公元前500)關于不可公度的發現,以及對于數與無限的認識中,就已孕育了微積分的思想方法,約公元3世紀,我國劉徵的割圓術和公元5世紀祖沖之(429500)計算圓周率π等問題中,也都包含了極限思想。經歷了中世紀的黑暗和文藝復興,直到17世紀,牛頓(16421727)和萊布尼茲(16461716)在繼承前人工作的基礎上,創立了微積分。但是直到19世紀前,對這門學科的邏輯基礎仍然缺乏清晰的觀念,又經過一批數學家的不懈努力,到了19世紀末,才把微積分建立在實數理論的堅實基礎上,使之有了牢固的邏輯基礎,形成了現在的微積分體系。柯西(17891857)、魏爾斯特拉斯(18151897)、戴德金(.18311916)、康托爾(18451918)等人是其中杰出的典型代表。

        大家反映的集中問題是:極限是整個微積分的基礎,不講極限怎么講導數,不講極限不方便講導數。

        的確,極限是整個微積分的基礎,連續、導數、定積分、微積分基本定理、級數、廣義積分等都是不同形式的極限,而且,也必需在學習連續、導數、定積分、微積分基本定理、級數、廣義積分等內容的過程中才能不斷加深對極限的認識和理解。

        因此,我們要思考的是:從極限思想的孕育到極限理論的建立,經歷了漫長的過程,從牛頓和萊布尼茲創立微積分到建立微積分的嚴密的邏輯基礎,經歷了200多年的時間。在中學學習極限,學生對極限的內涵能理解到什么程度?對理解導數概念能起到什么作用?學生離開學校后不再接觸數學,能給他們留下些什么?如何講導數能把學生的注意力集中到導數本身,使他們感到導數、數學與現實生活有著密切的聯系。

        “課標”要求不講極限,直接通過實例的分析,經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程,了解導數的實際背景,知道瞬時變化率就是導數,體會導數的思想和內涵。其意圖正是希望能把學生的注意力集中到導數本身,對導數概念本身有一個較好的認識,使學生離開學校后即便不再接觸數學,也能給他們留下些東西,提到變化率、增長率能聯想到數學與現實生活是有聯系的。而不是象以往那樣,更多的是把導數作為一種規則學習,注重的是導數的計算,一旦忘記了求導公式和法則,就留不下什么了。

         

        綜上分析,我們還是建議不要對“課標”的變化簡單地肯定或否定,還是先嘗試著:先講函數再講映射;先講概率后講計數原理;不講極限直接分析實例,讓學生經歷從平均變化率過到瞬時變化率的過程,引出導數概念。這樣的變化或許會使部分教師感到不適應,不習慣,尤其是對經驗豐富的教師,更會感到自己積累多年的好經驗用不上了、不順了。但“課標”設計的課程作出這些處理變化的依據是:(1)前期的課程比較研究;(2)學生學習心理的分析研究;(3)研制過程中的反復研討和局部實驗;(4)吸收了包括一線教師在內的多方面人士的經驗和建議。“課標”希望能通過這樣的變化幫助學生把注意力集中到對函數本身、概率本身、導數本身的認識和理解上,希望能使多數學生即便以后不再接觸數學,也能感受數學與社會、數學與生活是有聯系的,數學是有用的,數學離我們很近。

         

        (二)實驗區教師的困惑與思考

        對于實驗區教師的困惑,我們歸納了以下幾個方面,并對他們的困惑作一些分析。

        1.內容多,課時不夠,師生負擔加重問題與思考

        實驗區教師普遍感到的一個困惑是新課程內容多,課時不夠,師生負擔加重,尤其是一開始接觸新課程時,這一困惑更為突出。但是,從實驗的情況看,這一困惑會隨著實驗時間的推移而逐漸得到逐步解惑。

        由于新課程的確增加了新的內容,如:算法、推理與證明、框圖、統計案例等,加強了統計和概率的內容,尤其是選修系列3、4的專題。因此,剛一接觸新課程感到內容多是自然的,加上對新課程的變化和要求還不很清楚,仍然按原來的想法去組織教學,因此,產生課時不夠,師生負擔加重的困惑是必然的。

        ——產生這些困惑有多方面的原因

        其中,主要原因是還沒有把握好“課標”的要求和變化,還沒有從“大綱”課程中擺脫出來。如前面提到的函數的有關內容,新課程降低了對映射、反函數、不等式等的要求,刪減了復合函數的內容。如果我們仍然按原來的方式教學,例如,大量補充不等式內容,因為按原來的理念和方式教學,不補充就不能做集合運算中的綜合題、求定義域值域的綜合題,涉及到參數討論的綜合題等。而新課程對集合的要求是把集合作為一種語言來學習,不僅在當前,而且要在以后的學習中幫助學生用集合語言簡潔、準確地表達數學的一些內容,而不是在當前的學習中去做綜合題,重點要放在對集合語言的運用上,在使用中熟悉自然語言、集合語言、圖形語言各自的特點,進行互換。對函數概念學習的重點是從整體上提升對函數本質的認識,而不是求定義域值域的綜合題,尤其是要避免人為地編制一些求定義域值域的偏題和過于繁瑣的技巧訓練。此外,因為刪減了復合函數,因此,在學習函數的單調性時就不要再進行過于繁瑣的技巧訓練,對函數單調性的進一步理解應在導數及其應用中進行,這也是“課標”螺旋上升的一個體現。因此,重要的是必須要從整體上去把握和看待新課程的變化。

        新課程希望不僅把不等式作為一種工具,而且要了解他的幾何意義、應用,以及現實背景,此外,也受到模塊結構在課時上的限制,不等式的內容被安排在必修模快5中,這給教學帶來一些不便,在具體教學中需要先補充有關不等式的一些內容,但是一定要控制難度和課時。關于不等式內容的安排,我們可以醞釀著提出建設性建議,在修訂“課標”時提出來。

        其次一個原因是在教學中做兩個并集:一個是“大綱”內容與“課標”內容的并集。做這個并集的根源是對新課程高考的要求心理沒底,生怕降低學生的高考成績。另一個并集是把新課程分層次、分階段完成的教學任務一步到位完成,還增加了很多的訓練,反復訓練,這主要是對新課程設計中螺旋上升的意圖不清楚,按自己原有的觀念進行教學造成的。

        產生課時不夠,師生負擔加重的再一個原因是前緊后松,2年完成3年的教學任務。這個問題在“大綱”課程中也存在,但是對于新課程,由于不少學校對選修34專題只開設考綱要求的專題,甚至不開設,因此,后面的時間就顯得更松了。造成這一問題的根源還是高考。但是,即便有了考綱,與“大綱”課程一樣,高考對正常教學秩序帶來的影響仍然是一個需要多方共同努力去研究的問題。

        2              對高考心里沒底問題與思考

        高考給教學帶來的影響一直是困繞我們的難題。客觀的因素來自社會、各級行政主管部門,家長等方面,對教師造成了很大的壓力,教學中普遍存在著:只要高考好,怎么做立竿見影就怎么做;高考考什么就教什么,以解題教學代替概念原理教學,大運動量機械訓練等現象。

        新課程對原有內容要求和處理有了變化,又增加了新的內容,教師自然就會產生不知道高考會怎么考、對高考心里沒底的問題。因此,在實驗一開始就瞄著高考,盼著早點出臺“考綱”。擔心“課標”和教材與高考不一致,雖然在某些方面的要求降低了,但是高考的要求不會降。于是,不僅原來的一些做法沒有改變,而且做兩個并集,大大加重了師生的負擔,有悖于課改的初衷。

        各個方面給教師造成的壓力,使教師經常是“身不由己”,這是非常能理解的。這里我們要說的是,我們需要對自己的教學理念有一個反思:如何看待教師的價值?什么樣的教師是一個合格的教師?為什么普遍存在著把會解題等同于數學學得好、數學能力強的看法,重視的只是會解題、考試能得高分,更多的老師關注的只是在解題上的提高,認為合格的數學教師就是解題高手。應該說,會解題是一個教師必須具有的能力,會解題與數學好的確有一定的聯系,從一個側面表現出他們的數學素養。但是,這樣的著眼點,這樣的教學理念是片面的,不僅是對數學的理解不到位,而且也是對數學教育育人功能認識不到位的表現,看不到這樣的理念會使學生失去更多的理解數學的機會。更是日常教學以解題教學代替概念原理教學,大運動量機械訓練等現象的重要原因所在。

        事實上,即便一開始就瞄著高考,也未必就能解決問題,一個合格的教師應該會解題,但是會解題的教師未必就是合格的。同樣,一個好的教師應該也是解題的高手,但是解題高手未必是一個好教師。在我們的教師隊伍中,始終有一批中堅骨干,他們能站在一定的高度來看待數學教育的功能,對數學有較好的認識和理解,不斷地提高自己的數學素養;他們有較為全面的教學理念,在教學中研究學生的認知規律,追求遵循科學的教學規律。因此,一個自然的結果是:他們培養的學生一般都不僅有較好的成績,也有較好的能力。“課標”追求的目標之一正是希望有越來越多的教師成為這樣的教師,希望通過“課標”對原有內容的要求和處理變化、通過新增內容和專題的設置,提高廣大教師的數學素養,提高對數學的認識和理解,提高對數學教育功能的認識,提高教學水平,使廣大學生受到高水平的數學教育。

        我們還要說的是,學習數學沒有一定量的訓練是萬萬不行的,教師希望學生得到好成績的愿望也是無可指責的。但是,簡單重復的大運動量機械訓練是低效的,尤其是對一些綜合性較強的問題,而且這種訓練會給學生的學習和對數學的認識帶來很多負面的影響。因此,重要的是要思考以什么方式、怎樣訓練使學生獲得好成績才是科學的、高效的。解題過程中歸納題型是需要的,關鍵是如何歸納?歸納題型的著眼點在哪里?解題后還應作些什么?大家都知道波利亞解決問題的模式,很多教師也有自己的訓練方法,有的教師還總結了“精選習題,高效訓練”的方法。基于上述分析,我們認為,應該立項研究如何進行科學有效的訓練,從一個側面解決提高學生解題能力的問題。

        3.關于傳統優勢降低問題與思考

        在調查中,有不少教師認為我們的傳統優勢,如:抽象概括、推理論證、空間想象、運算求解等能力并沒有提高,反倒是有所降低了,尤其是運算求解的能力,這是值得我們關注的問題。

        應該說,出現這樣的現象,原因是比較復雜的,我們建議大家要從整體上來看待這一現象。

        能力的培養和提高需要經歷一個過程,在新舊交替的過程中,教師對新課程的理念、變化、要求還不很了解,尤其是新課程雖然在某些內容上降低了要求,但是,新課程的模塊和專題結構、對原有內容處理的變化、新增內容等,都對教師在數學上提出了更高的要求,需要教師從更高的層次上去把握教學內容,這就必然會使多數教師感到不適應,也就必然會影響到對教學內容的把握,影響到教學的效能。

        此外,這一輪課改在義務教育階段的改革中有很多合理的地方,但也確實存在一些需要改進的不足,這些不足直接影響到學生一些基本能力的形成,尤其是運算能力。在修訂“義務教育數學課程標準(實驗稿)”時已經作出了相應的修改。

        再有,盡管教師認可“課標”和教材重視數學知識的學習過程,加強了啟發性和探究性的意識和設計,但在實際教學中,由于班額普遍比較大,受升學、考試等的影響,往往難以落實,很多時候還是停留在“講、練”的教學方式,當然,這種教師示范、學生模仿、適當練習的講、練方式仍然是主要的教學方式,但是,缺乏啟發的、,缺乏互動的講、練方式,以及概念教學中一個定義幾項注意式的、直接拋出概念的教學方式,也都是造成這種現象的原因。

        隨著新課程的推進和成熟,隨著教師數學素養的提高和對教學規律研究的不斷深入,相信這一問題會逐漸得當解決。

         

        (三)關于“課標”的一些初衷沒有達成的問題

        1.學生的學習興趣和學習自主性并沒有明顯的提高的問題

        基于“課標”提倡自主、探究、合作等學習方式的要求,各個版本的教材在呈現方式上都作了很大的改進,教材中都設計了一些引導學生思考、操作的欄目,注意留給學生探索與交流的空間,選材注重與學生現實生活的聯系,等等。從調查結果來看,教師對教材的這些處理比較認可。但是,學生的學習興趣和學習自主性并沒有明顯的提高。出現這樣的現象是可以理解的,我們可從以下幾個方面去分析。

        ——教師已經了解了“課標”的基本理念,教師對數學、對數學的教育價值、對如何進行有效的學習等問題有較好的認識,從自己以往的經歷中有切身的體驗。而學生就完全不同了,他們不知道“課標”,他們對數學、對數學的教育價值沒有什么感覺,很少會有學生去思考教材的變化會給學習會有怎樣的積極意義。

        ——關于探究性學習,并不是所有的知識都是適合的。像數、式運算等程序性的知識就不適合探究性學習;無理數、復數等超經驗性知識也不適宜用探究性學習;為什么要使用弧度制、無理指數冪那樣難以證明的知識也不適宜探究性學習。一般來說,容易引發爭議的、有一定思維深度的、思辨性較強的知識比較適用于探究性學習,教材中設計了一些探究性學習的問題和攔目,供教學用,到底哪些內容適合探究性學習,用什么方式進行探究性學習能提高學生的學習興趣和學習自主性,需要我們在實驗中去探索。同樣,對于合作學習的方式,也存在著到底哪些內容適宜合作學習,用什么方式進行合作學習是有效的等問題,需要我們在實驗中去探索。

        ——隨著時間的推移,隨著研究的深入,相信這些問題都能逐步得到解決,學生的學習興趣和學習自主性也能得到改善。

        2.學生能力發展方面的問題

        在學生能力的發展方面,不少教師認為,傳統優勢下降,中學數學比較重視的學生的抽象概括能力、推理論證能力、空間想象力、運算求解能力以及這次課改比較重視的數據處理能力并沒有提高,反倒是有所降低了,并沒有達到我們預期的結果。這一問題我們已在上面關于傳統優勢降低問題中作了分析。

        3多樣性、選擇性理念的初衷沒有達成的問題

        “課標”希望通過教材中習題編排的選擇性;體現彈性內容的選學材料;課程的組合的靈活性,學生在作出選擇后,可以根基自己的意愿和條件向學校提出調整的申請,經過測試獲得相應學分可轉換;以及選修系列3、4中專題的開設等,體現新課程的多樣性、選擇性這一基本理念。

        但是,在實驗過程中,因為習慣于“大綱”課程對習題的處理,一般都要求所有學生做所有的習題,這不僅體現不了多樣性、選擇性,更重要的是加重了部分學生的負擔,也影響了部分學生的學習自信心。對于彈性內容的材料,不少教師還不適應這樣的安排,認為沒用,也就沒有利用好這部分內容。至于課程組合的靈活性,更是“沒有感覺”。而選修3、4中的專題,一般只開設高考要考的專題,甚至于不開設。隨著對新課程設計理念認識的逐步加深,對教學內容要求熟悉程度的不斷提高,隨著自身數學素養的不斷提升,隨著客觀環境的改善,這些問題都能不斷得到改進。

         

        (四)教師對“課標”中一些內容處理的變化比較認可引發的思考

        在實驗調查中,教師對于“立體幾何、平面解析幾何螺旋上升的安排”,從整體到局部“先學空間幾何體,再到點、線、面”,“降低綜合法的要求,用空間向量處理立體幾何”等內容處理上的變化教師比較認可;對于教材滲透數學思想方法與數學文化的處理也都認可。這些調查結果引發了筆者的一些感觸。

        回憶在這一輪課改的前期研究中,“課標”研制組對學生的學習心理、認知規律、幾何課程的教育功能和設計等方面作了研究。我們都知道推理能力在數學學習中的重要而基礎的地位,強調幾何課程是培養學生邏輯推理能力的良好載體。但是,無論是進入平面幾何課程還是立體幾何課程的學習時,多數學生都會感到困難,甚至成為造成學習分化的一個內容。究其原因,難教難學的重要原因之一是以往幾何課程的內容是以論證幾何為主線,立體幾何是從局部到整體展開的,教材的編排過于形式化,與大多數學生的認知水平存在著較大的距離。針對上述問題,為了避免以往幾何課程中以論證幾何為主線、從局部到整體展開幾何內容造成的過于形式化,以及由此給學生認知帶來的困難,使學生在較為自然的探索過程中學習幾何的探索過程,“課標”在立體幾何內容處理上有了較大的變化:按照從整體到局部的方式展開立體幾何內容,突出直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等探索研究幾何的過程,并且注重三種語言的使用和轉換訓練。教材的編寫依據“課標”的要求,并基于幾何課程能將有關內容以“圖”“文”并茂的形式生動形象地表示出來的重要特點,作了相應的研究和編排。這些變化在實驗中得到了認可,從一個側面說明“課標”的前期研究是必要的,是有成效的。

        此外,回憶10多年前“大綱”的研制情況,開始時大家對于增加向量、尤其是用空間向量處理立體幾何問題有很大的爭議。之后,老師們在實驗過程中逐漸適應了,也感受到了這樣處理是有益的。可以說,這次立體幾何課程的變化能得到認可與此也是有關的。

        因此,新課程實驗中出現種種問題是必然的,其中,有些問題會隨著新課程的推進和成熟逐步得到解決,如上面提到的“傳統優勢下降”“課標”的一些初衷沒有達成”等問題。有些問題需要在實驗中繼續關注,并提出改進建設性建議,如“不等式的內容選擇和安排”“受模塊結構課時限制,解析幾何分劃到必修、選修中進行”“不能按“課標”要求的課時進行教學”“選修34中專題的開設”等問題。同時,在實驗過程中還會不斷出現新的問題,需要我們去面對、去研究,有很多工作還需深入。

        新課程實施的過程是一個不斷學習、探索、研究和提高的過程,在這過程中,需要我們認真思考、交流探討、學習研究、與學生平等對話,在實踐和探索中不斷前進

        相信在各個方面的通力合作下,一定能克服改革進程中遇到的各種困難,不斷完善“課標”,建設具有中國特色的高水平的數學課程,不斷提高教育水平,使我們的學生受到高水平的數學教育。

         

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